Provaz kolem zeměkoule

4.3

(32)

Představte si, že máte k dispozici tak dlouhý provaz, že je možné s ním obmotat celou zeměkouli.
Zanedbejme drobné nepřesnosti způsobené sem tam nějakým pohořím či skutečností, že Země není přesná koule.
Pro nás je zeměkoule na rovníku právě přesný kruh bez nerovností. Zanedbejme i pružnost materiálu lana.
A teď si představte, že tento provaz prodloužíme přesně o jeden metr.
Tím se kruh tvořený provazem o něco zvětší. Vytvoří tím druhou kružnici o něco větší, než předchozí.
Střed obou kružnic se bude nacházet v jednom bodě, distanc mezi zemí a provazem bude tedy pravidelná.
Otázka je, zda je pod tímto provazem nyní možné prostrčit list obyčejného papíru, či zda mezera bude přeci jen příliš malá.

Nezapomeňte, že prozrazený hlavolam přestane býti hlavolamem. Nevíte-li si hned rady, zkuste hlavolam odložit na později. Pokud přesto chcete přijít o zážitek z vyřešeného hlavolamu, řešení naleznete níže. Než se řešení zobrazí, máte ještě 30 vteřin na přemýšlení…
Můžete si také přečíst několik zajímavostí o hlavolamech.

ŘEŠENÍ

Prodloužíme-li provaz přesně o jeden metr, zvětší se poloměr kruhu tvořeného provazem okolo zeměkoule o překvapivých 159mm. O tuto vzdálenost tedy provaz stoupne nad zem. Nejenže bude možné pod provazem prostrčit list papíru, ale klidně celý balík a ještě zbude hromada místa…
Je to právě stejných 159mm, o kterých by se ve stejné situaci zvětšil poloměr kruhu tvořeného provazem, který bychom nejprve omotali například kolem obyčejného melounu.

Matematický důkaz

K dopočítání výsledku dokonce ani nepotřebujeme znát přesný obvod nebo poloměr zeměkoule, stačí vyjít ze vzorce pro výpočet obvodu O=2πr (O-obvod, r-poloměr, π-konstanta)
Z toho tedy plyne, že r=O/2π.
Rozdíl mezi poloměry, tedy míru, o kterou se provaz nadzdvihne nad zemi označíme r_x. Prodloužení provazu o určenou délku označíme X. Obvod i poloměr před prodloužením provazu doplníme o index 1, po prodloužení o index 2.
Pak tedy r₁ + r_x = r₂ -> r_x=r₂-r₁ -> r_x=O₂/2π-O₁/2π -> r_x=O₁+x/2π-O₁/2π -> r_x = X/2π. Pokud jsme prodloužili provaz o metr (tedy 1000mm), pak r_x=1000/2π. Rozdíl r_x je tedy 159 mm.
Můžete si klidně zkusit dosadit i obvod zeměkoule a vypočítat poloměr. Pak přidat k původnímu obvodu metr, znovu vypočítat poloměr a výsledky (tedy oba poloměry kruhů) odečíst.

Původ úlohy

Tento matematický problém není pro matematiku žádný významný milník. Vymyslel jej William Whiston roku 1702. William Whiston, anglický teolog, historik a matematik žil v letech 1667 až 1752. Byl popularizátorem teorii Isaaca Newtona. Hádanka byla zmíněna v knize The Elements of Euclid (Euklidovy základy).
Tato hádanka je zde ve verzi o provaze, který je umístěn tak, že se mezi provazem a zemi nachází mezera o velikosti jednoho metru. Hlavním problémem hádanky je určit, o kolik je delší provaz levitující jeden metr ve všech místech nad zemí, oproti provazu, který je napnutý po obvodu země.