Zajímavé druhy Magických čtverců

4.7

(7)

Klasický magický čtverec je čtvercovou tabulku čísel, která má v každém řádku, sloupci i na obou diagonálách členy se stejným součtem. Obvykle se každé číslo smí vyskytovat v tabulce pouze jednou. Jejich historie sahá až do starověké Číny. Nejrůznější zajímavé druhy magických čtverců se v historii objevují na nejrůznějších místech právě pro svou mystičnost. Některé konstrukce jsou natolik pozoruhodné, že je stojí za to zmínit.

Slavné čtverce

Polomagický čtverec Leonharda Eulera – Jde o čtverec osmého řádu, kde součet čísel každého sloupce a řady je v tomto čtverci 260, což ale neplatí o úhlopříčkách – proto tedy polomagický. Čtverec je založený na pohybech šachového jezdce. Řeší odpověď na otázku, zda je možné projít jezdcem šachovnici tak, aby jezdec vstoupil na každé pole jen jednou. Každé pole, na které jezdec vstoupil očísloval Euler podle pořadí tahu. Úlohu, která je v šachové teorii známá naleznete ZDE.
Následovníci Eeulera se pokoušeli takovýto čtverec dokonalý – tedy s konstantou platnou i pro úhlopříčky, nicméně v roce 2003 bylo prokázáno, že takový čtverec osmého řádu neexistuje. Existuje však pro čtverec větší, kde n je dělitelné čtyřmi.
Franklinův magický čtverec – čtverec velikosti 8 𝑥 8, který je plný zajímavých symetrických jevů. O existenci některých možná ani sám autor nevěděl… Konstanta sloupců a řádků je 260. Každá z obou polovin všech řádků a sloupců má konstantu 130 – tedy polovinu 260. Konstantu 260 má každý úhlopříčně lomený řádek. Konstantu rovněž nalezneme na součtu rohů a čtyř čísel uprostřed. Součet čísel jakéhokoliv čtverečku 2 𝑥 2 je 130 – tedy půlka z 260, stejně tak součet kterýchkoli čísel, která jsou stejně vzdálená od středového čtverce. Jedinou výjimku tvoří diagonály. Ty sice nenaplňují každá konstantu 260, ale jejich součet dává její dvojnásobek.

Symbolika magického čtverce v umění

Zajímavý Magický čtverec se objevil na mědirytu Melancholie I. Albrechta Durera z roku 1514. Magický čtverec, který se zde objevuje vedle celé řady dalších magických symbolů je opravdu pozoruhodný. Tento čtverec 4×4 nejenže splňuje podmínky pro obecné magické čtverce, ale navíc součet 34 nalezneme i v prostředním kvadrantu, v každém z kvadrantů rohových a součtu rohových polí. V spodním řádku je také vedle sebe číslice 15 a 14, což je datum vzniku rytiny – 1514. V prvním řádku je pak podle některých pramenů také zakryptováno datum úmrtí Durerovy matky. V rytině je navíc zakomponováno tolik další mystické symboliky, že jen vyjmenování by vydalo na další samostatný článek.
V nejslavnější nedostavěné katedrále světa – Gaudího Sagradě Famílii nalezneme lehce pozměněný Durerův magický čtverec. Jeho sestavení sice trochu odporuje základnímu principu – tedy že každé číslo by mělo být znázorněno jen jednou, nicméně díky této úpravě je součet čísel 33, což symbolizuje Kristova léta.

Písmenné magické čtverce

Zajímavé jsou také palindromické písmenné magické čtverce SATOR a RVACH. Oba je možné číst v libovolném směru (zprava, zleva, shora, zdola)

SATOR obsahuje slova Sator – sázeč, rozsévač, Arepo – zpravidla překládáno jako jméno, Tenet – dogma, držení, Opera – práce, dřina, péče a Rotas – kola. Kromě zmíněné vlastnosti lze písmena například poskládat do kříže s dvěma nápisy PATER NOSTER (s centrálním N), přičemž zbudou dvakrát písmena A a O, které lze vyložit jako α a ω, tedy začátek a konec. Má tedy symbolizovat začátek modlitby otče náš. Další možný jinotaj tohoto čtverce může vést ke kryptogramu: SAT ORARE POTEN(ter) ET OPERA(re) R(ati)O T(u)A S(it) – mnoho se modlit a usilovně pracovat budiž tvým nejvyšším posláním, což je zásada benediktýnského řádu. Nicméně tento čtverec zcela jistě existoval již mnohem dříve, než byl tento řád ustanoven, či než vznikla a ustálila se klasická formule “otčenáše”. Jeden z nejstarších nálezů pochází z trosek města Herculaneum, byl nalezen také v Pompejích.
Další palindromický čtverec byl RVACH. Slovo “rvach” v hebrejštině znamená “duch”. Objevuje se v některých hebrejských učení i v souvislosti s Kabalou. Čtverec sloužil jako ochrana před zloději. Prý na něm každý uvízne a žádný vůz přes něj nedokáže přejet.

Další zajímavé konstrukce magických čtverců

Z klasických magických čtverců vychází celá řada dalších konstrukcí, které se liší buď matematickými principy, nebo třeba tvarem.

Heteročtverec – Součty každém sloupci i řádku po dvou různé.
Antimagický čtverec – jde o heteročtverec, kde součty v každém sloupci, řádce a diagonále seřadit do aritmetické posloupnosti.
Panmagický čtverec – konstantu tohoto čtverce získáme součtem čísel na všech jeho lomených diagonálách a také v rohových čtvercích obrazce, a na dalších symetrických místech.
Semimagický (polomagický) čtverce – na rozdíl od panmagického čtverce není konstanta na jedné nebo obou diagonálách.
Asociovaný čtverec – Magický čtverec, jehož libovolné dva prvky souměrné podle středu vytvoří součet 𝑛2 + 1.
Koncentrický čtverec – čtverce, které zůstávají magickými i v okamžiku, kdy budeme postupně odstraňovat obvodové vrstvy.
Bimagické a trimagické čtverce – magický čtverec tvoří druhé či třetí mocniny prvků čtverce.
Magický čtverec z prvočísel – nejmenší čtverec tvořený z po sobě jdoucích prvočísel je 3×3. Objevil jej až v roce 1988 Herry Nelson. takovýchto čtverců bylo objeveno celkem dvacet. Čtverec, který tvoří prvních n prvočísel (pokud použijeme i číslo 1) objevil v roce 1913 J. N. Muncey. n=12.

Magický čtverec dal základ celé řadě dalších fenoménů, ať je to slavný hlavolam Patnáctka , nebo dnes nesmírně populární SUDOKU.
Na internetu je celá řada stránek, které se tomuto tématu věnují. Za zmínku stojí jistě velmi obsáhlá stránka https://www.magischvierkant.com/.